Question

3．如圖，已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、M、N分別是BC、AE、CD₁的中點，AD=AA₁=a，AB=2a．求證：MN∥平面ADD₁A₁．

Answer 1

分析 以D為原點，分別以DA、DC、DD₁為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，求出$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{3}{4}$a，0，$\frac{a}{2}$）．平面ADD₁A₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），通過$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{n}$=0，證明MN∥平面ADD₁A₁．

解答 證明：以D為原點，分別以DA、DC、DD₁為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則A（a，0，0），B（a，2a，0），C（0，2a，0），D₁（0，0，a），E（$\frac{1}{2}$a，2a，0），


∵M、N分別為AE、CD₁的中點，
∴M（$\frac{3}{4}$a，a，0），N（0，a，$\frac{a}{2}$）．
∴$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{3}{4}$a，0，$\frac{a}{2}$）．…（6分）
取$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），…（8分）      
顯然$\overrightarrow{n}$⊥平面A₁D₁DA，且$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{n}$=0，
∴$\overrightarrow{MN}$⊥$\overrightarrow{n}$．又MN?平面ADD₁A₁．
∴MN∥平面ADD₁A₁． …（12分）

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應用，考查空間向量的應用，是中檔題．