Question

13．過(guò)△ABC的重心G任作一條直線分別交AB，AC于點(diǎn)D、E，設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$．
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示向量$\overrightarrow{AG}$；
（2）若$\overrightarrow{AD}$=x$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AE}$=y$\overrightarrow{AC}$，且xy≠0，求$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)重心的性質(zhì)及向量加法的平行四邊形法則便可得出$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）=\frac{1}{3}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$；
（2）由條件即可得到$\overrightarrow{AB}=\frac{1}{x}\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AC}=\frac{1}{y}\overrightarrow{AE}$，這樣帶入$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$便可得出$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3x}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3y}\overrightarrow{AE}$，而由圖看出D，G，E三點(diǎn)共線，從而便可得出$\frac{1}{3x}+\frac{1}{3y}=1$，這樣即可求出$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的值．

解答 解：（1）G為△ABC的重心；
∴$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）=\frac{1}{3}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$；
（2）根據(jù)條件，$\overrightarrow{AB}=\frac{1}{x}\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AC}=\frac{1}{y}\overrightarrow{AE}$；
∴$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$
=$\frac{1}{3}（\frac{1}{x}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{y}\overrightarrow{AE}）$
=$\frac{1}{3x}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3y}\overrightarrow{AE}$；
又D，G，E三點(diǎn)共線；
∴$\frac{1}{3x}+\frac{1}{3y}=1$；
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3$．

點(diǎn)評(píng) 考查三角形重心的概念及重心的性質(zhì)，向量的數(shù)乘運(yùn)算，以及向量加法的平行四邊形法則，知道三點(diǎn)A，B，C共線的充要條件：$\overrightarrow{OB}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OC}$，且x+y=1．