Question

16．已知直線x=$\frac{π}{6}$是函數(shù)f（x）=sin（2x+φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）圖象的一條對稱軸．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；          
（2）求函數(shù)f（-x）的單調增區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由直線x=$\frac{π}{6}$是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸，求出φ的值，即得f（x）的解析式；
（2）利用正弦函數(shù)的圖象與性質即可求出f（-x）的單調增區(qū)間；
（3）根據x的取值范圍，求出sin（2x+$\frac{π}{6}$）的取值范圍即可．

解答 解：（1）∵直線x=$\frac{π}{6}$是函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）圖象的一條對稱軸，
∴2×$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得φ=kπ+$\frac{π}{6}$；
又0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$；
（2）f（-x）=sin（-2x+$\frac{π}{6}$）=-sin（2x-$\frac{π}{6}$），
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{5}{6}$π+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（-x）的增區(qū)間為$[kπ+\frac{π}{3}，kπ+\frac{5}{6}π]，k∈Z$；
（3）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，
∴2x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴f（x）的值域為$[-\frac{1}{2}，1]$．

點評 本題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質的應用問題，是基礎題目．