Question

已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1．
（1）若a，b分別表示將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次正面朝上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿足函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率；
（2）設(shè)點(diǎn)（a，b）是區(qū)域

x+y-8≤0 x＞0 y＞0

內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：二元一次不等式（組）與平面區(qū)域,列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）列出基本事件，運(yùn)用古典概率求解即可．
（2）運(yùn)用幾何概率公式求解即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=

2b

a

，
要使f（x）=ax²-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)且僅當(dāng)a＞0且

2b

a

≤1，即2b≤a，
基本事件共36個(gè)；                    
所求事件包含基本事件：（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（6，1），（4，2），（5，2），（6，2），（6，3）
所求事件包含基本事件的個(gè)數(shù)是9        
∴所求事件的概率為

9

36

=

1

4

．
（2）由（1）知當(dāng)且僅當(dāng)2b≤a且a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1在區(qū)是間[1，+∞）上為增函數(shù)，
依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?span id="1ksfnvt" class="MathJye">{(a，b)|

a+b-8≤0 a＞0 b＞0

}，

構(gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)槿�角形部分�?br />
由

a+b-8=0 b= a 2

得交點(diǎn)坐標(biāo)為(

16

3

，

8

3

)，
∴所求事件的概率為P=

1 2 ×8× 8 3

1 2 ×8×8

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式，線性規(guī)劃問(wèn)題，幾何概率的求解，屬于中檔題，計(jì)算準(zhǔn)確即可．