Question

18．定義函數(shù)f（x）如下：對(duì)于實(shí)數(shù)x，如果存在整數(shù)m，使得|x-m|＜$\frac{1}{2}$，則f（x）=m，則下列結(jié)論：
（1）f（x）是實(shí)數(shù)R上的遞增函數(shù)；
（2）f（x）是周期為1的函數(shù)；
（3）f（x）是奇函數(shù)；
（4）函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，
則正確的結(jié)論的序號(hào)是（3）．

Answer 1

分析 直接利用對(duì)于實(shí)數(shù)x，如果存在整數(shù)m，使得|x-m|＜$\frac{1}{2}$，則f（x）=m，對(duì)4個(gè)命題分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵對(duì)于實(shí)數(shù)x，如果存在整數(shù)m，使得|x-m|＜$\frac{1}{2}$，則f（x）=m，
∴m-$\frac{1}{2}$＜x＜m+$\frac{1}{2}$，f（x）=m，
∴f（x）是實(shí)數(shù)R上的遞增函數(shù)不正確；
又|x-m|＜$\frac{1}{2}$，則f（x）=m，m=0時(shí)，-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=0，m=1時(shí)，$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$時(shí)，f（x）=1，因此f（x）不是周期函數(shù)，（2）不正確；
（3）∵|x-m|=|-x+m|＜$\frac{1}{2}$，則f（-x）=-m，∴f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函數(shù)，正確；
（4）由（3）可知，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x有一個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性，有2個(gè)交點(diǎn)，故不正確．
故答案為：（3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義，考查命題的真假判斷，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確理解定義是關(guān)鍵．