Question

3．設(shè){a_n}是公比為q（q≠1）的無窮等比數(shù)列，若{a_n}中任意兩項(xiàng)之積仍是該數(shù)列中的項(xiàng)，則稱{a_n}為“封閉等比數(shù)列”．給出以下命題：
（1）a₁=3，q=2，則{a_n}是“封閉等比數(shù)列”；
（2）a₁=$\frac{1}{2}$，q=2，則{a_n}是“封閉等比數(shù)列”；
（3）若{a_n}，{b_n}都是“封閉等比數(shù)列”，則{a_n•b_n}，{a_n+b_n}也都是“封閉等比數(shù)列”；
（4）不存在{a_n}，使{a_n}和{a_n²}都是“封閉等比數(shù)列”；
以上正確的命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 （1）求出${a_n}=3•{2^{n-1}}$，由a₁•a₂∉{a_n}，知（1）錯(cuò)誤；（2）由${a_n}=\frac{1}{2}•{2^{n-1}}={2^{n-2}}$，推導(dǎo)出命題（2）正確；（3）${a_n}+{b_n}=3•{2^{n-1}}$不是“封閉等比數(shù)列”；（4）若${a_n}={2^n}$為“封閉等比數(shù)列”，則$a_n^2={4^n}$為“封閉等比數(shù)列”．

解答 解：（1）∵{a_n}是a₁=3，q=2的等比數(shù)列，
∴${a_n}=3•{2^{n-1}}$，
由題意得a₁•a₂=3×6=18∉{a_n}，故命題（1）錯(cuò)誤；
（2）∵${a_n}=\frac{1}{2}•{2^{n-1}}={2^{n-2}}$，
∴${a_m}•{a_n}={2^{m-2}}•{2^{n-2}}={2^{m+n-4}}={2^{（{m+n-2}）-2}}={a_{m+n-2}}，m+n-2∈{N^*}$，故命題（2）正確；
（3）若${a_n}={2^{n-1}}，{b_n}={2^n}$都為“封閉等比數(shù)列”，
則${a_n}+{b_n}=3•{2^{n-1}}$不是“封閉等比數(shù)列”，故命題（3）錯(cuò)誤；
（4）若${a_n}={2^n}$為“封閉等比數(shù)列”，則$a_n^2={4^n}$為“封閉等比數(shù)列”，故命題（4）錯(cuò)誤．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列、封閉等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．