Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1+2lnx}{x^2}$．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）存在x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，使|f（x₁）-f（x₂）|≥k|lnx₁-lnx₂|成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知原函數(shù)的解析式求導(dǎo)，分析定義域內(nèi)各區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）存在x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，使|f（x₁）-f（x₂）|≥k|lnx₁-lnx₂|成立，即存在x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，使f（x₂）+klnx₂≥f（x₁）+klnx₁成立．令h（x）=f（x）+klnx，利用導(dǎo)數(shù)法求其最值，可得答案．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{1+2lnx}{x^2}$．
∴$f'（x）=\frac{-4lnx}{x^3}$，
令f′（x）=0得x=1，
x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
綜上，f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）．（4分）
（2）不妨設(shè)x₁＞x₂＞1，由（1）知x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減．
|f（x₁）-f（x₂）|≥k|lnx₁-lnx₂|等價(jià)于f（x₂）-f（x₁）≥k（lnx₁-lnx₂），
即f（x₂）+klnx₂≥f（x₁）+klnx₁，
存在x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，使f（x₂）+klnx₂≥f（x₁）+klnx₁成立．（7分）
令h（x）=f（x）+klnx，h（x）在（1，+∞）上存在減區(qū)間.$h'（x）=\frac{{k{x^2}-4lnx}}{x^3}＜0$有解，即$k＜\frac{4lnx}{x^2}$有解，即$k＜{（\frac{4lnx}{x^2}）_{max}}$．（9分）
令$t（x）=\frac{4lnx}{x^2}$，$t'（x）=\frac{4（1-2lnx）}{x^3}$，$x∈（0，\sqrt{e}）$時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，$x∈（\sqrt{e}，+∞）$時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
∴${（\frac{4lnx}{x^2}）_{max}}=\frac{2}{e}$，
∴$k＜\frac{2}{e}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．