Question

已知函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+cos²x-sin²x+a的在區(qū)間[0，

π

2

]上的最小值為0．
（Ⅰ）求常數(shù)a的值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，求使f（x）≥0成立的x的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用兩角和與差的三角函數(shù)式化簡f（x）為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，然后解答．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+cos²x-sin²x+a
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+cos2x+a，
所以f(x)=

3

sin2x+cos2x+a，
所以f(x)=2sin(2x+

π

6

)+a．
因?yàn)?span id="9vxfxpr" class="MathJye">x∈[0，

π

2

]時(shí)，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
所以x=

π

2

時(shí)，f（x）的取得最小值f（

π

2

）=-1+a．
依題意，-1+a=0，所以a=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1．
要使f（x）≥0，即sin(2x+

π

6

)≥-

1

2

．
所以2kπ-

π

6

≤2x+

π

6

≤2kπ+

7π

6

，k∈Z，即kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

2

，k∈Z．
當(dāng)k=0時(shí)，-

π

6

≤x≤

π

2

；當(dāng)k=1時(shí)，

5π

6

≤x≤

3π

2

．
又x∈[0，π]，故使f（x）≥0成立的x的集合是[0，

π

2

]∪[

5π

6

，π]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式的運(yùn)用化簡三角函數(shù)解析式為最簡形式，然后解答相關(guān)問題；關(guān)鍵是正確化簡．