Question

12．過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，與雙曲線的漸近線交于C、D兩點，若|AB|=$\frac{3}{5}$|CD|，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{5}{4}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 聯(lián)立方程求出A，B，C，D的坐標，結(jié)合距離關(guān)系進行求解即可．

解答 解：當x=c時代入$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1得y=±$\frac{^{2}}{a}$，則A（c，$\frac{^{2}}{a}$），B（c，-$\frac{^{2}}{a}$），則AB=$\frac{2^{2}}{a}$，
將x=c代入y=±$\frac{a}x$得y=±$\frac{bc}{a}$，則C（c，$\frac{bc}{a}$），D（c，-$\frac{bc}{a}$），
則|CD|=$\frac{2bc}{a}$，
∵|AB|=$\frac{3}{5}$|CD|，
∴$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{3}{5}$×$\frac{2bc}{a}$，即b=$\frac{3}{5}$c，
則b²=$\frac{9}{25}$c²=c²-a²，
即$\frac{16}{25}$c²=a²，
則e²=$\frac{25}{16}$，則e=$\frac{5}{4}$，
故選：A．

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)方程求出交點坐標，結(jié)合距離公式進行求解是解決本題的關(guān)鍵．