Question

2．（理）從P出發(fā)的三條射線PA，PB，PC每?jī)蓷l夾角成60°，則二面角B-PA-C的余弦值為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，作出二面角B-PA-C的平面角，設(shè)PE=a，求解直角三角形得到EG、EF、FG的長(zhǎng)度，再由余弦定理得答案．

解答 解：如圖，

在PA上任取一點(diǎn)E，在平面APB內(nèi)過(guò)E作EF⊥PA交PB于F，在平面APC內(nèi)過(guò)E作EG⊥PA交PC于G，
連接GF，設(shè)PE=a，在Rt△PEG中，∵∠EPG=60°，∴PG=2a，GE=$\sqrt{3}a$，
同理求得PF=2a，EF=$\sqrt{3}a$，則GF=2a，
在△FGE中，由余弦定理得：cos∠FEG=$\frac{（\sqrt{3}a）^{2}+（\sqrt{3}a）^{2}-4{a}^{2}}{2\sqrt{3}a×\sqrt{3}a}=\frac{2{a}^{2}}{6{a}^{2}}=\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的平面角的求法，考查了空間想象能力和思維能力，是中檔題．