Question

6．已知a₁=1，點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)y=2x+3的圖象上．
（Ⅰ）求證：{a_n+3}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）求數(shù)列{n（a_n+3）}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）由點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)y=2x+3的圖象上，可得a_n+1=2a_n+3，變形為a_n+1+3=2（a_n+3），利用等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式即可證明．
（II）由（I）可知：a_n+3=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，即可得出．
（III）n（a_n+3）=n•2ⁿ⁺¹．利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 （I）證明：∵點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)y=2x+3的圖象上，∴a_n+1=2a_n+3，
變形為a_n+1+3=2（a_n+3），a₁+3=4，
∴{a_n+3}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為2．
（II）解：由（I）可知：a_n+3=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-3．
（III）解：n（a_n+3）=n•2ⁿ⁺¹．
∴數(shù)列{n（a_n+3）}的前n項(xiàng)和T_n=2²+2×2³+…+n•2ⁿ⁺¹，
∴2T_n=2³+2×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²，
∴-T_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺²=（1-n）•2ⁿ⁺²-4，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．