Question

已知三條直線2x-y-3=0，4x-3y-5=0和ax+y-3a+1=0相交于同一點P．
（1）求點P的坐標和a的值；
（2）求過點（-2，3）且與點P的距離為2

5

的直線方程．

Answer 1

考點：點到直線的距離公式,兩條直線的交點坐標

專題：直線與圓

分析：（1）聯(lián)立

2x-y-3=0 4x-3y-5=0

，解得點P（2，1）．將P的坐標（2，1）代入直線ax+y-3a+1=0中，解得a即可．
（2）設(shè)所求直線為l，當直線l的斜率不存在時，則l的方程為x=-2；不合題意．當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為y-3=k（x+2），利用點到直線的距離公式即可得出．

解答： 解：（1）聯(lián)立

2x-y-3=0 4x-3y-5=0

，解得

x=2 y=1

，
∴點P（2，1）．
將P的坐標（2，1）代入直線ax+y-3a+1=0中，可得2a+1-3a+1=0，解得a=2．
（2）設(shè)所求直線為l，當直線l的斜率不存在時，則l的方程為x=-2，
此時點P與直線l的距離為4，不合題意．
當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的斜率為k，
則l的方程為y-3=k（x+2），即kx-y+2k+3=0，
因此點P到直線l的距離d=

|2k-1+2k+3|

k2+1

=2

5

，
解方程可得k=2．
所以直線l的方程為2x-y+7=0．

點評：本題考查了直線的交點、點到直線的距離公式、點斜式，考查了分類討論思想方法，屬于基礎(chǔ)題．