Question

10．函數(shù)f（x）=x²+bx-1（b∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上單調(diào)，求b的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)y=|f（x）|-2有四個(gè)零點(diǎn)，求b的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)y=|f（x）|在[0，|b|）上的最大值為g（b），求g（b）的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函數(shù)f（x）=x²+bx-1的圖象是開口朝上，且以直線x=-$\frac{2}$為對(duì)稱軸的拋物線，若函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上單調(diào)，則-$\frac{2}$≤1，解處b的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)y=|f（x）|-2有四個(gè)零點(diǎn)，則$1+\frac{^{2}}{4}＜2$，解得b的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)y=|f（x）|在[0，|b|）上的最大值為g（b），結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分類討論，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=x²+bx-1的圖象是開口朝上，且以直線x=-$\frac{2}$為對(duì)稱軸的拋物線，…（2分）
∵y=f（x）在[1，+∞）上單調(diào)，
∴-$\frac{2}$≤1，
即：b≥-2…．（5分）
（Ⅱ）函數(shù)y=|f（x）|-2有四個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y=|f（x）|與直線y=2有四個(gè)交點(diǎn)，
∵$f（x）={x^2}+bx-1={（x+\frac{2}）^2}-1-\frac{b^2}{4}$的最小值為$-1-\frac{^{2}}{4}$
∴只需$1+\frac{^{2}}{4}＜2$   即：b∈（-1，1）…．（10分）
（Ⅲ）①當(dāng)b＞0時(shí)，函數(shù)y=|f（x）|在[0，b）上單調(diào)增，
g（b）=max{|f（0）|，|f（b）|}=max{1，|2b²-1|}=$\left\{\begin{array}{l}1，0＜b＜1\\ 2^{2}-1，b≥1\end{array}\right.$…（12分）
②當(dāng)b＜0時(shí)，|f（0）|=f（|b|）=1，$f（-\frac{2}）=-1-\frac{b^2}{4}$
又$\left|f（-\frac{2}）\right|=1+\frac{^{2}}{4}$＞1，所以g（b）=$1+\frac{^{2}}{4}$…（14分）
綜上所述，g（b）=$\left\{\begin{array}{l}2^{2}-1，b≥1\\ 1，0＜b＜1\\ 1+\frac{^{2}}{4}，b＜0\end{array}\right.$；…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．