Question

7．已知函數(shù)f（x）=axe^x，曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=2x+b．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）設函數(shù)g（x）=f（x）-x²-2x，求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）在（2）的條件下，是否存在實數(shù)k，使得對于任意的x∈（-∞，0），都有g（x）≤kx恒成立？若存在，求出實數(shù)k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，根據(jù)切線方程求出a，b的值即可；
（2）求出g（x）的導數(shù)，解關于導函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（3）問題轉(zhuǎn)化為k≤$\frac{2x{•e}^{x}{-x}^{2}-2x}{x}$=2e^x-x-2，設函數(shù)h（x）=2e^x-x-2，x∈（-∞，0），求出h（x）的導數(shù)，得到單調(diào)區(qū)間，求出h（x）的最大值，從而求出k的范圍即可．

解答 解：（1）由f（x）=axe^x，得f′（x）=a（x+1）e^x，
則f（0）=0，f′（0）=a，
故y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=ax，
由題意可知，a=2，b=0．
（2）由g（x）=2xe^x-x²-2x，得g′（x）=2（x+1）e^x-2x-2=2（x+1）（e^x-1），
令g′（x）=0，得x=-1，或x=0，
當x∈（-∞，-1）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；
當x∈（-1，0）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；
當x∈（0，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；
故函數(shù)g（x）的增區(qū)間為（-∞，-1）和（0，+∞），減區(qū)間為（-1，0）．
（3）由題意知，?x∈（-∞，0），2xe^x-x²-2x≤kx恒成立，
即?x∈（-∞，0），k≤$\frac{2x{•e}^{x}{-x}^{2}-2x}{x}$=2e^x-x-2，
設函數(shù)h（x）=2e^x-x-2，x∈（-∞，0），則h′（x）=2e^x-1，
令h′（x）=0，可得x=-ln2，
當x∈（-∞，-ln2）時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；
當x∈（-ln2，0）時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增．
故當x=-ln2時，h（x）取得最小值為h（-ln2）=ln2-1．
所以k≤ln2-1，即存在實數(shù)k∈（-∞，ln2-1]，使得對于任意的x∈（-∞，0），
都有g（x）≤kx恒成立．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用，函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．