Question

3．如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=PA，點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn)，OP⊥平面ABC，
（1）求證：OD∥平面PAB；
（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 法一：（1）要證OD∥平面PAB，只需證明平面PAB內(nèi)直線PA與OD平行，就是OD∥PA，即可證明OD∥平面PAB；
（2）由（1）可得直線PA與平面PBC所成角，即直線OD與平面PBC所成角，首先利用三垂線定理作出直線OD與平面PBC所成角，就是取BC中點(diǎn)E，連接PE，則BC⊥平面POE作OF⊥PE于F，連接DF，得到OF⊥平面PBC，然后解三角形求出角即可；
法二：距離空間直角坐標(biāo)系，利用共線向量證明（1）；利用向量的數(shù)量積求解（2）．

解答 解：方法一：
（1）∵O、D分別為AC、PC中點(diǎn)，
∴OD∥PA又PA?平面PAB
∴OD∥平面PAB

（2）∵OD∥PA，
∴直線PA與平面PBC所成角，即直線OD與平面PBC所成角，
∵AB⊥BC，OA=OC，
∴OA=OB=OC，
又∵OP⊥平面ABC，
∴PA=PB=PC．
取BC中點(diǎn)E，連接PE，則BC⊥平面POE作OF⊥PE于F，連接DF，則OF⊥平面PBC
∴∠ODF是OD與平面PBC所成的角．
可設(shè)PA=2，AB=BC=1，PO=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，EO=$\frac{1}{2}$，PE=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
OD=1，OF=$\frac{PO•EO}{PE}$=$\frac{\sqrt{14}}{2\sqrt{15}}$，
在Rt△ODF中，sin∠ODF=$\frac{OF}{OD}$=$\frac{\sqrt{210}}{30}$，
∴OD與平面PBC所成的角的正弦值為：$\frac{\sqrt{210}}{30}$．
∴直線PA與平面PBC所成角的正弦值$\frac{\sqrt{210}}{30}$；
方法二：∵OP⊥平面ABC，OA=OC，AB=BC，
∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP．
以O(shè)為原點(diǎn)，射線OP為非負(fù)z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz（如圖），設(shè)AB=a，則A（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0，0），B（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0），C（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0，0）
設(shè)OP=h，則P（0，0，h）．

（1）∵D為PC的中點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{OD}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{4}$a，0，$\frac{1}{2}$h），又$\overrightarrow{PA}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0，-h），
∴$\overrightarrow{OD}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PA}$．
∴$\overrightarrow{OD}$∥$\overrightarrow{PA}$．
∴OD∥平面PAB．
（2）∵PA=2a，
∴h=$\sqrt{\frac{7}{2}}$a，
∴$\overrightarrow{PA}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0，-$\sqrt{\frac{7}{2}}$a），
可求得平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（-1，1，$\sqrt{\frac{1}{7}}$），
∴|cos＜$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{n}|}{\left|\overrightarrow{PA}\right|•\left|\overrightarrow{n}\right|}$=$\frac{\sqrt{210}}{30}$．
設(shè)OD與平面PBC所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{210}}{30}$．
∴AP與平面PBC所成的角的正弦值為：$\frac{\sqrt{210}}{30}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面平行，直線與平面所成的角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題