Question

20．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和s_n滿足S_n=2n²-13n（n∈N^*）．
（1）求通項(xiàng)公式a_n；
（2）令c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=-11，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，由此求出通項(xiàng)公式a_n；
（2）求得c_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$•（4n-15），利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=-11，
②當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n²-13n-[2（n-1）²-13（n-1）]=4n-15，
n=1時(shí)，也適合上式．
∴a_n=4n-15．
（2）c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{4n-15}{{2}^{n}}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$•（4n-15），
∴T_n=$（\frac{1}{2}）^{1}•（4-15）$+$（\frac{1}{2}）^{2}•（4×2-15）$+$（\frac{1}{2}）^{3}•（4×3-15）$+…+$（\frac{1}{2}）^{n}$•（4n-15），①
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$（\frac{1}{2}）^{2}•（4-15）$+$（\frac{1}{2}）^{3}•（4×2-15）$+…+$（\frac{1}{2}）^{n}•[4（n-1）-15]$+$（\frac{1}{2}）^{n+1}•（4n-15）$②
①-②，得：$\frac{1}{2}$T_n=-$\frac{11}{2}$+4（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（4n-15）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=-$\frac{11}{2}$+4•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（4n-15）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=-$\frac{7}{2}$-$（\frac{1}{2}）^{n-2}-（\frac{1}{2}）^{n+1}（4n-15）$，
∴T_n=-7-$（\frac{1}{2}）^{n}（4n-7）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．