3.如圖,已知直線l:y=$\sqrt{3}$x+4,圓O:x2+y2=3,直線m∥l.
(1)若直線m與圓O相交,求直線m縱截距b的取值范圍;
(2)設(shè)直線m與圓O相交于C、D兩點(diǎn),且A、B為直線l上兩點(diǎn),如圖所示,若四邊形ABCD是一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形,求直線m縱截距b的值.

分析 (1)利用m∥l,求出直線l;設(shè)直線m的方程,利用設(shè)圓心O到直線m的距離為d,通過(guò)直線m與圓O相交,求解即可.
(2)求出CD,利用AB與CD之間的距離,結(jié)合$h=\frac{{\sqrt{3}}}{2}|{CD}|$求解即可.

解答 解:(1)∵m∥l,直線$l:y=\sqrt{3}x+4$,
∴可設(shè)直線$m:y=\sqrt{3}x+b$,即$\sqrt{3}x-y+b=0$,
設(shè)圓心O到直線m的距離為d,又因?yàn)橹本m與圓O相交,
∴$d=\frac{|b|}{{\sqrt{{{({\sqrt{3}})}^2}+{{({-1})}^2}}}}<r=\sqrt{3}$,…(2分)
即$-2\sqrt{3}<b<2\sqrt{3}$,∴$b∈({-2\sqrt{3},2\sqrt{3}})$…(4分)
(2)由$|{CD}|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{3-\frac{b^2}{4}}$,①…(6分)
AB與CD之間的距離$h=\frac{{|{b-4}|}}{2}$,②…(8分)
又$h=\frac{{\sqrt{3}}}{2}|{CD}|$③…(10分)
聯(lián)立①②③得到:b2-2b-5=0,又$b∈({-2\sqrt{3},2\sqrt{3}})$,
解得:$b=1+\sqrt{6}$或$b=1-\sqrt{6}$…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)若D,E分別為線段OA,OB的中點(diǎn),當(dāng)C在圓弧$\widehat{AB}$上運(yùn)動(dòng)時(shí),求$\overrightarrow{CE}$•$\overrightarrow{CD}$的取值范圍.

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A.k∈[-$\frac{3}{4}$,0)B.k∈(0,$\frac{4}{3}$]C.k∈(0,$\frac{3}{4}$]D.k∈[-$\frac{3}{4}$,$\frac{3}{4}$]

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