Question

14．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，弦AE交BC于D，已知AD²=BD•DC，∠ADC=60°，OD=1，OE⊥BC．
（1）求∠ODG；
 （2）求△ABC中BC邊上的高．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出OD⊥AE，從而△ODE為直角三角形，由△DGE∽△ODE，能求出∠ODG．
（2）作AF⊥BC于F，連結(jié)OA，推導(dǎo)出$∠AOD=∠DOE=\frac{π}{3}$，由此能求出BC邊上的高．

解答 解：（1）∵△ABC內(nèi)接于⊙O，弦AE交BC于D，AD²=BD•DC，
∴D為AE的中點(diǎn)，OD⊥AE，
∴△ODE為直角三角形，
∵OE⊥BC，∴△DGE∽△ODE，
∴∠EDG=∠DOE，
又∠ADC=∠EDG（對(duì)頂角），
∴∠ODG=90°-60°=30°．
（2）作AF⊥BC于F，連結(jié)OA，
由（1）得$∠AOD=∠DOE=\frac{π}{3}$，
在Rt△AOD與Rt△ADF中，
AF=ADsin$\frac{π}{3}$=OEsin²$\frac{π}{3}$=$\frac{3}{2}$，
∴BC邊上的高為$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查角的大小的求法，考查邊上的高的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相似三角形的性質(zhì)的合理運(yùn)用．