Question

3．已知圓M的方程為x²+y²-2x-2y-6=0，以坐標原點O為圓心的圓O與圓M相切．
（1）求圓O的方程；
（2）圓O與x軸交于E，F(xiàn)兩點，圓O內(nèi)的動點D使得|DE|，|DO|，|DF|成等比數(shù)列，求$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將圓M的方程轉(zhuǎn)化成（x-1）²+（y-1）²=8，求得圓心和半徑，根據(jù)兩圓相切，即可求得圓O的半徑，求得圓O的方程；
（2）利用等比數(shù)列的性質(zhì)，兩點之間的距離公式求得E和F點坐標及x²-y²=1，由于點D在圓O內(nèi)，求得y²＜$\frac{1}{2}$，由向量數(shù)量積的坐標表示可知：$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$=2y²-1，即可求得$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$的取值范圍．

解答 解：（1）圓M的方程可整理為：（x-1）²+（y-1）²=8，
故圓心M（1，1），半徑R=2$\sqrt{2}$．
圓O的圓心為（0，0），
∵|MO|=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴點O在圓M內(nèi)，
故圓O只能內(nèi)切于圓M．
設其半徑為r．
∵圓O內(nèi)切于圓M，
∴|MN|=|R-r|，
即 $\sqrt{2}$=|2$\sqrt{2}$-r|，解得：r=$\sqrt{2}$或r=3$\sqrt{2}$（舍去）；
所以圓O的方程為：x²+y²=2；
（2）由題意可知：設：E（m，0），F(xiàn)（n，0），m＜n，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{y=±\sqrt{2}}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴E（-$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)（$\sqrt{2}$，0），
設D（x，y），由|DE|、|DO|、|DF|成等比數(shù)列，
得|DO|²=|DE|•|DF|，
即：$\sqrt{（x+\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}$=x²+y²，
整理得：x²-y²=1．
由于點D在圓O內(nèi)，
故有$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}＜2}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，由此得：y²＜$\frac{1}{2}$，
$\overrightarrow{DE}$=（-$\sqrt{2}$-x，-y），$\overrightarrow{DF}$=（$\sqrt{2}$-x，-y），
∴$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$=（-$\sqrt{2}$-x）（$\sqrt{2}$-x）+（-y）（-y）=x²+y²-2=2y²-1，
∴$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$∈[-1，0）．

點評 本題考查兩圓相切的性質(zhì)，等比數(shù)列的性質(zhì)，兩點之間的距離公式，數(shù)量積的坐標運算，二次函數(shù)的單調(diào)性，考查推理計算能力，屬于中檔題．