Question

2．命題P：函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+（4a-3）x+3a，x＜0\\{log_a}（x+1）+1，x≥0\end{array}$（a＞0，且a≠1）在R上為單調遞減函數，命題q：?x∈[0，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$]，x²-a≤0恒成立，若命題p∧q為假，p∨q為真，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據函數的性質分別求出命題P，q成立的等價條件建立復合命題真假關系進行求解即可．

解答 解：命題P滿足的條件為$\left\{\begin{array}{l}-\frac{4a-3}{2}≥0\\ 0＜a＜1\\ 3a≥1\end{array}\right.$可得$\frac{1}{3}≤a≤\frac{3}{4}$，…．…．（2分）
命題q滿足的條件為：a≥（x²）_max，$x∈[{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$，所以  $a≥\frac{1}{2}$…，…..（2分）
因為p∧q為假，p∨q為真，所以p、q一真一假..…（5分）
若p真q假需滿足，$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3}≤a≤\frac{3}{4}\\ a＜\frac{1}{2}\end{array}\right.$解得$\frac{1}{3}≤a＜\frac{1}{2}$…..8 分
若p假q真需滿足$\left\{\begin{array}{l}a＜\frac{1}{3}或a＞\frac{3}{4}\\ a≥\frac{1}{2}\end{array}\right.$解得$a＞\frac{3}{4}$..…．（11分）
綜上$\frac{1}{3}≤a＜\frac{1}{2}$或$a＞\frac{3}{4}$..…（12分）

點評 本題主要考查復合命題真假關系的應用，根據條件求出命題的等價條件是解決本題的關鍵．