Question

13．在△ABC的內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別是a，b，c，已知$\frac{sinA}{a}=\frac{{\sqrt{3}cosB}}$，
（1）求B；
（2）若b=2，△ABC的周長為2$\sqrt{3}$+2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理可得tanB，即可得出；
（2）利用余弦定理、三角形周長、三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：（1）由正弦定理可得：$\frac{sinA}{a}=\frac{{\sqrt{3}cosB}}$=$\frac{sinB}$，
∴tanB=$\sqrt{3}$，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$；
（2）由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，
即a²+c²-ac=4，
又b=2，△ABC的周長為2$\sqrt{3}$+2，
∴a+c+b=2$\sqrt{3}$+2，
即a+c=2$\sqrt{3}$，
∴ac=$\frac{8}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了正弦定理、余弦定理、三角形周長、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．