Question

12．已知向量$\overrightarrow a$=（1，sinx），$\overrightarrow b$=（cosx，$\frac{1}{2}$），其中x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]．
（1）若$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，求實數(shù)x的值；
（2）若$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow b$，求向量$\overrightarrow a$的模|$\overrightarrow a$|．

Answer 1

分析 （1）利用向量共線的充要條件，列出方程求解即可．
（2）利用向量的垂直化簡方程，然后求解向量的模．

解答 解：（1）因為$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，所以$sinxcosx=\frac{1}{2}$，
所以sin2x=1，因為$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，所以$x=\frac{π}{4}$．
（2）因為$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，所以$\frac{1}{2}sinx+cosx=0$，所以tanx=-2，
所以$|\overrightarrow a|=\sqrt{1+{{sin}^2}x}=\sqrt{1+\frac{{{{sin}^2}x}}{{{{sin}^2}x+{{cos}^2}x}}}=\sqrt{1+\frac{{{{tan}^2}x}}{{{{tan}^2}x+1}}}=\sqrt{1+\frac{4}{4+1}}=\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$．

點評 本題考查向量與三角函數(shù)的關(guān)系，考查計算能力．