Question

4．如表提供了某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)：

x	2	4	6	8	10
y	5	6	5	9	10

（1）請(qǐng)根據(jù)表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehaty$=$\widehatb$x+$\widehata$；
（2）根據(jù)（1）求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)20噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗是多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？

Answer 1

分析 （1）產(chǎn)量x與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y的平均數(shù)，得到樣本中心點(diǎn)，把所給的數(shù)據(jù)代入公式，利用最小二乘法求出線性回歸方程的系數(shù)，再求出$\widehata$的值，從而得到線性回歸方程；
（2）當(dāng)x=20，代入回歸直線方程，求得$\widehaty$．

解答 解：（1）由題意得$\overline x$=$\frac{2+4+6+8+10}{5}$=6，$\overline y$=$\frac{5+6+5+9+10}{5}$=7，…（1分）
$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}$=2×5+4×6+6×5+8×9+10×10=236，…（3分）
$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}$=4+16+36+64+100=220，…（4分）
則$\widehatb$=$\frac{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}-5{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{236-5×6×7}{220-5×36}$=0.65，…（6分）
$\widehata$=$\overline y$-$\widehatb$$\overline x$=7-0.65×6=3.1，…（8分）
故線性回歸方程為$\widehaty$=0.65x+3.1；…（9分）
（2）根據(jù)線性回歸方程的預(yù)測(cè)，現(xiàn)在生產(chǎn)當(dāng)x=20噸時(shí)，產(chǎn)品消耗的標(biāo)準(zhǔn)煤的數(shù)量$\widehaty$為：$\widehaty$=0.65×20+3.1=16.1（11分）
答：預(yù)測(cè)生產(chǎn)20噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗16.1噸標(biāo)準(zhǔn)煤…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性回歸方程的求法和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確利用最小二乘法公式，屬于中檔題．