Question

5．已知函數(shù)f（x）=tanx．項數(shù)為27的等差數(shù)列{a_n}滿足a_n∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），且公差d≠0．若f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₇）=0，則當k=14時，f（a_k）=0．

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列的性質(zhì)、正切的和差公式可得：tan（2a₁₄）=tan（a_i+a_28-i）=$\frac{tan{a}_{i}+tan{a}_{28-i}}{1-tan{a}_{i}tan{a}_{28-i}}$，又f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₇）=0，可得tan（2a₁₄）=$\frac{2tan{a}_{14}}{1-ta{n}^{2}{a}_{14}}$=0，tana₁₄=0．j即可得出．

解答 解：由等差數(shù)列的性質(zhì)、正切的和差公式可得：tan（2a₁₄）=tan（a_i+a_28-i）=$\frac{tan{a}_{i}+tan{a}_{28-i}}{1-tan{a}_{i}tan{a}_{28-i}}$，
∵f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₇）=0，
∴tan（2a₁₄）[（1-tana₁tana₂₇）+（1-tana₂tana₂₆）+…+（1-tana₂₇tana₁）]=0，
∴tan（2a₁₄）=$\frac{2tan{a}_{14}}{1-ta{n}^{2}{a}_{14}}$=0，∴tana₁₄=0．
∴k=14時，f（a_k）=tana_k=tana₁₄=0．
故答案為：14．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、和差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．