Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=|a-x|+|2x-4|
（1）若a=1，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）＜f（0），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=1代入f（x），結(jié)合絕對(duì)值的意義求出f（x）的最小值即可；（2）通過(guò)討論a的范圍得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）若a=1時(shí)，f（x）=|1-x|+|2x-4|=|x-1|+|x-2|+|x-2||x-1|+|x-2|≥|（x-1）-（x-2）|=1，|x-2|≥0，
∴f（x）≥1，
上式當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)，
所以a=1時(shí)f（x）的最小值為1；
（2）f（a）＜f（0），
即|2a-4|＜|a|+4等價(jià)化為：
$\left\{\begin{array}{l}a＞2\\ 2a-4＜a+4\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}0≤a≤2\\ 4-2a＜a+4\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}a＜0\\ 4-2a＜-a+4\end{array}\right.$，
即2＜a＜8或0＜a≤2或無(wú)解，
∴0＜a＜8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查絕對(duì)值的意義以及分類討論思想，是一道中檔題．