Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$+$\frac{^{2}}{4-{x}^{2}}$，x∈（0，2），ab＜0，求證：f（x）≥（$\frac{a-b}{2}$）²．

Answer 1

分析 變形函數(shù)f（x）=$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$+$\frac{^{2}}{4-{x}^{2}}$=$\frac{1}{4}$[x²+（4-x²）]$（\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}+\frac{^{2}}{4-{x}^{2}}）$=$\frac{1}{4}$$[{a}^{2}+^{2}+\frac{{a}^{2}（4-{x}^{2}）}{{x}^{2}}+\frac{^{2}{x}^{2}}{4-{x}^{2}}]$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 證明：∵x∈（0，2），∴x²，4-x²∈（0，4）．又ab＜0．
∴函數(shù)f（x）=$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$+$\frac{^{2}}{4-{x}^{2}}$=$\frac{1}{4}$[x²+（4-x²）]$（\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}+\frac{^{2}}{4-{x}^{2}}）$=$\frac{1}{4}$$[{a}^{2}+^{2}+\frac{{a}^{2}（4-{x}^{2}）}{{x}^{2}}+\frac{^{2}{x}^{2}}{4-{x}^{2}}]$≥$\frac{1}{4}$$（{a}^{2}+^{2}+2\sqrt{{a}^{2}^{2}}）$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-2ab}{4}$=$（\frac{a-b}{2}）^{2}$．
當且僅當a（4-x²）=-bx²時取等號．
∴f（x）≥（$\frac{a-b}{2}$）²．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．