Question

14．在平面內，定點A，B，C，D滿足|$\overrightarrow{DA}$|=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|，$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{DA}$=-2，動點P，M滿足|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，則|$\overrightarrow{BM}$|²的最大值是$\frac{49}{4}$．

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{DA}$|=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|，$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{DA}$=-2，可設：D（0，0），A（2，0），B（-1，$\sqrt{3}$），C（-1，-$\sqrt{3}$）．由動點P，M滿足|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，可設：P（2+cosθ，sinθ）．M$（\frac{1+cosθ}{2}，\frac{sinθ-\sqrt{3}}{2}）$．再利用向量坐標運算性質、模的計算公式即可得出．

解答 解：∵|$\overrightarrow{DA}$|=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|，$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{DA}$=-2，
∴可設：D（0，0），A（2，0），B（-1，$\sqrt{3}$），C（-1，-$\sqrt{3}$），
動點P，M滿足|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，
可設：P（2+cosθ，sinθ）．M$（\frac{1+cosθ}{2}，\frac{sinθ-\sqrt{3}}{2}）$．
∴$\overrightarrow{BM}$=$（\frac{3+cosθ}{2}，\frac{sinθ-3\sqrt{3}}{2}）$．
則|$\overrightarrow{BM}$|²=$（\frac{3+cosθ}{2}）^{2}$+$（\frac{sinθ-3\sqrt{3}}{2}）^{2}$
=$\frac{37+12sin（\frac{π}{6}-θ）}{4}$≤$\frac{49}{4}$，當且僅當$sin（\frac{π}{6}-θ）$=1時取等號．
故答案為：$\frac{49}{4}$．

點評 本題考查了向量坐標運算性質、模的計算公式、數(shù)量積運算性質、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．