Question

2．在△ABC中，a，b，c分別為A，B，C所對邊，a+b=4，（2-cosA）tan$\frac{C}{2}$=sinA．
（1）求邊長c的值；
（2）若E為AB的中點，求線段EC的范圍．

Answer 1

分析 （1）使用半角公式化簡條件式，利用正弦定理結合已知即可得解c的值．
（2）利用已知及余弦定理可得$C{E^2}=\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}-1={b^2}-4b+7$，又結合$\left\{\begin{array}{l}a+c＞b\\ b+c＞a\end{array}\right.$，可得b的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解得CE的范圍．

解答 解：（1）在△ABC中，∵（2-cosA）tan$\frac{C}{2}$=sinA，a+b=4，
∴（2-cosA）•$\frac{sinC}{1+cosC}$=sinA，
即2sinC=sinA+sinAcosC+cosAsinC=sinA+sinB，
∴由正弦定理可得：2c=a+b=4，
∴c=2．
（2）∵c=2，E為AB的中點，
∴由余弦定理可得：CE²=AE²+AC²-2AE•AC•cosA=a²+1-2acosB，
CE²=BE²+BC²-2BE•BC•cosB=b²+1-2bcosA，
∴兩式相加可得：CE²=$\frac{{a}^{2}+^{2}+2-（2acosB+2bcosA）}{2}$，
又∵cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，a=4-b，
∴$C{E^2}=\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}-1={b^2}-4b+7$，
又∵$\left\{\begin{array}{l}a+c＞b\\ b+c＞a\end{array}\right.$，
∴1＜b＜3，
∴$CE∈[{\sqrt{3}，2}）$．

點評 本題考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)化簡在解三角形中的應用，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應用，屬于中檔題．