Question

16．已知二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），若f（-1）=f（2），且函數(shù)y=f（x）-x的值域為[0，+∞）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=2^x-k，當(dāng)x∈[1，2]時，記f（x），g（x）的值域分別為A，B，若A∪B=A，求實數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）由f（-1）=f（2），可得對稱軸方程，解b的方程可得b=-1，求得y=f（x）-x的解析式，配方可得最小值，即可得到c的值，進而得到所求f（x）的解析式；
（2）運用f（x）在[1，2]遞增，可得值域A；由g（x）在[1，2]遞增，可得值域B．由A∪B=A，有B⊆A，可得k的不等式，解得k即可．

解答 解：（1）因為f（-1）=f（2），
可得對稱軸為x=$\frac{1}{2}$，
即-$\frac{2}$=$\frac{1}{2}$，
解得b=-1；
因為函數(shù)y=f（x）-x=x²-2x+c=（x-1）²+c-1的值域為[0，+∞），
所以c-1=0⇒c=1．
所以f（x）=x²-x+1；
（2）當(dāng)x∈[1，2]時，f（x）=x²-x+1遞增，
可得最小值為1，最大值為3，
即有A=[1，3]；
g（x）=2^x-k，當(dāng)x∈[1，2]時，g（x）遞增，
可得最小值為2-k，最大值為4-k，
即有B=[2-k，4-k]，
由A∪B=A，有B⊆A，
所以$\left\{\begin{array}{l}{2-k≥1}\\{4-k≤3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{k≤1}\\{k≥1}\end{array}\right.$，
可得k=1．

點評 本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運用，以及兩集合的包含關(guān)系，考查運算能力，屬于中檔題．