Question

20．有下列說法：
①函數(shù)y=$\sqrt{lo{g}_{\frac{1}{2}}（3-2x）}$的定義域是[1，+∞）；
②函數(shù)f（x）=log₂（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）為奇函數(shù)；
③已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x（x≤0）}\\{{x}^{-\frac{1}{2}}（x＞0）}\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=f（x）+m有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（-1，0）；
④函數(shù)y=log_a（5-ax）在區(qū)間[-1，3）上單調(diào)遞減，則a的范圍是（1，$\frac{5}{3}$]；
⑤若函數(shù)y=（$\frac{2}{2c+1}$）^-x在R上單調(diào)遞減，且函數(shù)g（x）=lg（2cx²+2x+1）的值域為R，則c的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）．
其中正確說法有②③④⑤（填寫正確說法是序號）

Answer 1

分析 ①根據(jù)函數(shù)成立的條件進行求解即可．
②根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行判斷，
③根據(jù)函數(shù)與方程之間的關系進行求解判斷，
④根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進行判斷，
⑤根據(jù)函數(shù)單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)的值域的性質(zhì)進行求解．

解答 解：①要使函數(shù)有意義，則$\left\{\begin{array}{l}{3-2x＞0}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（3-2x）≥0}\end{array}\right.$，即0＜3-2x≤1，得1≤x＜$\frac{3}{2}$，即函數(shù)y=$\sqrt{lo{g}_{\frac{1}{2}}（3-2x）}$的定義域是[1，$\frac{3}{2}$）；故①錯誤，
②函數(shù)的定義域為（-∞，+∞），∵f（x）=log₂（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x），
∴f（-x）+f（x）=log₂（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）+log₂（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）=log₂（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）=log₂（x²+1-x²）=log₂1=0，
即f（-x）=-f（x），則f（x）為奇函數(shù)；故②正確，
③已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x（x≤0）}\\{{x}^{-\frac{1}{2}}（x＞0）}\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=f（x）+m有3個零點，
則f（x）+m=0，得-m=f（x），
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
要使兩個函數(shù)有三個交點，
則0＜-m＜1，即-1＜m＜0，
即實數(shù)m的取值范圍是（-1，0）；故③正確，
④函數(shù)y=log_a（5-ax）在區(qū)間[-1，3）上單調(diào)遞減，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{5-3a≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≤\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，即1＜a≤$\frac{5}{3}$，
即a的范圍是（1，$\frac{5}{3}$]；故④正確，
⑤若函數(shù)y=（$\frac{2}{2c+1}$）^-x=（$\frac{2c+1}{2}$）^x在R上單調(diào)遞減，
則0＜$\frac{2c+1}{2}$＜1得-$\frac{1}{2}$＜c＜$\frac{1}{2}$，
∵函數(shù)g（x）=lg（2cx²+2x+1）的值域為R，
∴若c=0，則g（x）=lg（2x+1）的值域為R，滿足條件．
若c≠0，
則等價為$\left\{\begin{array}{l}{2c＞0}\\{△=4-4c≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{c＞0}\\{c≤1}\end{array}\right.$，得0＜c≤1，
綜上0＜c＜$\frac{1}{2}$，
則c的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）．故⑤正確，
故答案為：②③④⑤．

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的性質(zhì)，考查學生的綜合應用能力，有一定的難度．