Question

11．設(shè)x，y，滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2≤0}\\{x-y≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞1，b＞2）的最大值為5，則$\frac{1}{a-1}+\frac{4}{b-2}$的最小值為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)可得a+b=5，然后利用基本不等式求得$\frac{1}{a-1}+\frac{4}{b-2}$的最小值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2≤0}\\{x-y≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，作出可行域如圖，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{3x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得A（1，1）．
由z=ax+by（a＞0，b＞0），得y=-$\frac{a}$x+$\frac{z}$，
由圖可知，z_max=a+b=5．可得a-1+b-2=2
∴$\frac{1}{a-1}+\frac{4}{b-2}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a-1}+\frac{4}{b-2}$）（a-1+b-2）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{b-2}{a-1}$+$\frac{4（a-1）}{b-2}$≥$\frac{1}{2}$（5+2$\sqrt{\frac{b-2}{a-1}×\frac{4（a-1）}{b-2}}$）=$\frac{9}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)4a=b+2，并且a+b=5即a=$\frac{7}{5}$，b=$\frac{18}{5}$時(shí)上式等號(hào)成立．
∴$\frac{1}{a-1}+\frac{4}{b-2}$的最小值為$\frac{9}{2}$．
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．