【題目】如圖，在四棱錐中，已知底面，異面直線和所成角等于.

（1）求證: 平面平面；

（2）求直線和平面所成角的正弦值；

(3) 在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的正切值為？若存在，指出點(diǎn)在棱上的位置，若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】（1）見解析；（2）；（3）存在這樣的點(diǎn)， 為棱上靠近的三等分點(diǎn).

【解析】試題分析：（1）要證平面平面，即證平面；

（2）以為原點(diǎn)， 所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求面的法向量，利用向量求線面角即可；

（3）假設(shè)存在，設(shè)，利用法向量求平面與平面所成角即可.

試題解析：

(1) 底面，又平面平面平面， 平面平面.

(2)如圖，以為原點(diǎn)， 所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）易知是等腰直角三角形， .設(shè)，則，則，因?yàn)楫惷嬷本�和所成角等于， ，即，解得.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，得，所以可取，所以直線和平面所成的正弦值為.

(3)假設(shè)存在，設(shè)，且，則，設(shè)平面一個(gè)法向量為，則由，得，取，又平面的法向量為，由平面與平面所成銳二面角的正切值為，可知余弦值為，由，解得或（不合題意）.

所以存在這樣的點(diǎn)， 為棱上靠近的三等分點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的離心率為，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x﹣y+=0相切．

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且kOAkOB=﹣，判斷△AOB的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說(shuō)明理由．

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【題目】已知三角形△ABC的三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，且最大角的正弦值為 ，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（ ）
A.15
B.18
C.21
D.24

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【題目】根據(jù)國(guó)家環(huán)保部新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定：居民區(qū)的年平均濃度不得超過35微克/立方米， 的24小時(shí)平均濃度不得超過75微克/立方米．我市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一居民區(qū)2016年30天的24小時(shí)平均濃度（單位：微克/立方米）的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，將這30天的測(cè)量結(jié)果繪制成樣本頻率分布直方圖如圖．

（Ⅰ）求圖中的值；

（Ⅱ）由頻率分布直方圖中估算樣本平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境質(zhì)量是否需要改善？并說(shuō)明理由．

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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且Sn=n﹣5an﹣85，n∈N+ ．
（1）求an ．
（2）求數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式，并求出n為何值時(shí)，Sn取得最小值？并說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48）．

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【題目】某教育機(jī)構(gòu)隨機(jī)某校20個(gè)班級(jí)，調(diào)查各班關(guān)注漢字聽寫大賽的學(xué)生人數(shù)，根據(jù)所得數(shù)據(jù)的莖葉圖，以組距為5將數(shù)據(jù)分組成[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30），[30，35），[35，40]時(shí)，所作的頻率分布直方圖如圖所示，則原始莖葉圖可能是（ ）

A.
B.
C.
D.

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【題目】已知滿足.

（1）求取到最值時(shí)的最優(yōu)解；

（2）求的取值范圍；

（3）若恒成立，求的取值范圍.

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【題目】某顏料公司生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品，其中生產(chǎn)每噸產(chǎn)品，需要甲染料噸，乙染料噸，丙染料噸，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品，需要甲染料噸，乙染料噸，丙染料噸，且該公司一天之內(nèi)甲、乙、丙三種染料的用量分別不超過噸、噸、噸，如果產(chǎn)品的利潤(rùn)為元/噸， 產(chǎn)品的利潤(rùn)為元/噸，則該顏料公司一天內(nèi)可獲得的最大利潤(rùn)為（ ）

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

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