Question

18．已知函數(shù)f（x）是定義在D上的函數(shù)，若存在區(qū)間[m，n]⊆D及正實數(shù)k，使函數(shù)f（x）在[m，n]上的值域恰為[km，kn]，則稱函數(shù)f（x）是k型函數(shù)．給出下列說法：
①f（x）=3-$\frac{4}{x}$不可能是k型函數(shù)；  
②若函數(shù)f（x）=$\frac{（{a}^{2}+a）x-1}{{a}^{2}x}$（a≠0）是1型函數(shù)，則n-m的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；  
③若函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x是3型函數(shù)，則m=-4，n=0．
其中正確說法個數(shù)為（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)題目中的新定義，結合函數(shù)與方程的知識，對題目中的命題進行分析判斷即可．

解答 分析：解答：解：對于①，f（x）的定義域是{x|x≠0}，且f（2）=3-$\frac{4}{2}$=1，f（4）=3-$\frac{4}{4}$=2，
∴f（x）在[2，4]上的值域是[1，2]，
∴f（x）是$\frac{1}{2}$型函數(shù)，∴命題錯誤；
對于②，y=$\frac{{（a}^{2}+a）x-1}{{a}^{2}x}$（a≠0）是1型函數(shù)，
即（a²+a）x-1=a²x²，∴a²x²-（a²+a）x+1=0，
∴方程的兩根之差x₁-x₂=$\sqrt{{（\frac{a+1}{a}）}^{2}-\frac{4}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2}{a}-\frac{3}{{a}^{2}}}$≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即n-m的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；∴命題正確；
對于③，y=-$\frac{1}{2}$x²+x是3型函數(shù)，
即-$\frac{1}{2}$x²+x=3x，解得x=0，或x=-4，
∴m=-4，n=0；∴命題正確；
綜上，正確的命題是②③．
故選：C．

點評 本題考查了在新定義下函數(shù)的定義域、值域問題以及解方程的問題，是易錯題．