Question

17．已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，CC₁=2$\sqrt{2}$，P，E分別為AC₁，CC₁的中點，則三棱錐P-BDE的體積為（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，證得PE⊥面PBD，由三角形中位線知識求得PE、PO的長，然后利用等積法求得三棱錐P-BDE的體積．

解答 解：如圖
連接AC、BD交于O，連接PO，則PO∥CC₁，
∵CC₁⊥底面ABCD，∴PO⊥底面ABCD，則PQ⊥AC，
又AC⊥BD，PO∩BD=O，∴AC⊥平面POD，
∵P，E分別為AC₁，CC₁的中點，∴PE∥AC，則PE⊥平面POD．
∵AB=2，CC₁=2$\sqrt{2}$，
∴$BD=2\sqrt{2}$，PO=$\frac{1}{2}C{C}_{1}=\sqrt{2}$，
則${S}_{△PBD}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$，
PE=$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$，
∴${V}_{P-BDE}={V}_{E-PBD}=\frac{1}{3}×2×\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查棱柱、棱錐體積的求法，考查了空間想象能力和思維能力，訓練了等積法求三棱錐的體積，是中檔題．