Question

15．“奶茶妹妹”對(duì)某時(shí)間段的奶茶銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)出售價(jià)x元和銷售量y杯之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：

價(jià)格x	5	5.5	6.5	7
銷售量y	12	10	6	4

通過(guò)分析，發(fā)現(xiàn)銷售量y對(duì)奶茶的價(jià)格x具有線性相關(guān)關(guān)系．
（Ⅰ）求銷售量y對(duì)奶茶的價(jià)格x的回歸直線方程；
（Ⅱ）已知一杯奶茶的成本價(jià)為3元，根據(jù)（Ⅰ）中價(jià)格對(duì)銷量的預(yù)測(cè)，為了獲得最大利潤(rùn)，“奶茶妹妹”應(yīng)該將奶茶的售價(jià)大約定為多少比較合理？
注：在回歸直線y=$\hat b$x+$\hat a$中，$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-，{\overline{x}}^{2}}$，$\hat a$=$\overline y$-$\hat b$$\overline x$．$\sum_{i=1}^4{{x_i}^2}$=5²+5.5²+6.5²+7²=146.5．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù)，做出利用最小二乘法所用的四個(gè)量，利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)，寫出線性回歸方程．
（Ⅱ）設(shè)獲得的利潤(rùn)為y元，利用利潤(rùn)=銷售收入-成本，建立函數(shù)，利用配方法可求工廠獲得的利潤(rùn)最大．

解答 解：（Ⅰ）$\sum_{i=1}^4{x_i}{y_i}=182…（1分）$，
$\overline x=6，\overline y=8…（2分）$
$\sum_{i=1}^4{{x_i}^2}-4{\bar x^2}=2.5…（4分）$，
$\hat b=-4，\hat a=\overline y-\hat b\overline{x}=32$…（7分）
故回歸直線方程為y=-4x+32；…（8分）
（Ⅱ）設(shè)利潤(rùn)為P（x），則有$P（x）=（x-3）（-4x+32）=-4{（x-\frac{11}{2}）^2}+25$，…（11分）
因此當(dāng)$x=\frac{11}{2}$利潤(rùn)達(dá)到最大，從而定價(jià)約為$\frac{11}{2}$元較合理…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性回歸方程的求法和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是細(xì)心地做出線性回歸方程要用的系數(shù)，這里不能出錯(cuò)，不然會(huì)引起第二問(wèn)也是錯(cuò)誤的．