Question

6．設(shè)x₁，x₂是一元二次方程x²-2ax+a+6=0的兩個(gè)實(shí)根，則${（{x_1}-1）^2}+{（{x_2}-1）^2}$的最小值為$\frac{49}{4}$．

Answer 1

分析 由已知條件利用根的判別式、韋達(dá)定理、完全平方和公式求解．

解答 解：∵x₁，x₂是一元二次方程x²-2ax+a+6=0的兩個(gè)實(shí)根，
∴△=4a²-4a-24＞0，
解得-2＜a＜3，
∵x₁+x₂=2a，x₁x₂=a+6，
∴${（{x_1}-1）^2}+{（{x_2}-1）^2}$=${{x}_{1}}^{2}-2{x}_{1}+1+{{x}_{2}}^{2}-2{x}_{2}+1$
=（x₁+x₂）²-2x₁x₂-2（x₁+x₂）+2
=4a²-2a-12-4a+2
=4a²-6a-10
=4（a-$\frac{3}{4}$）²-$\frac{49}{4}$，
a=$\frac{3}{4}$時(shí)，${（{x_1}-1）^2}+{（{x_2}-1）^2}$取最小值-$\frac{49}{4}$．
故答案為：-$\frac{49}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查代數(shù)式的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、完全平方和公式的合理運(yùn)用．