Question

14．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知B=60°，a+c=4．
（1）當(dāng)a，b，c成等差數(shù)列時(shí)，求△ABC的面積；
（2）設(shè)D為AC邊的中點(diǎn)，求線段BD長的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求b=2，由余弦定理可得ac=4，利用三角形面積公式即可求值得解．
（2）設(shè)AD=CD=d，由cos∠ADB+cos∠CDB=0，結(jié)合余弦定理可得BD²=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2}$-d²=8-ac-d²，又利用余弦定理可得4d²=16-3ac，從而解得d²=4-$\frac{3ac}{4}$，利用基本不等式可得：BD²=4-$\frac{ac}{4}$≥4-$\frac{1}{4}$（$\frac{a+c}{2}$）²=3，即可得解．

解答 解：（1）因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，a+c=4．
所以b=$\frac{a+c}{2}$=2，…（2分）
由余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-3ac=16-3ac=4，解得ac=4，…（6分
從而S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．…（8分）⇒
（2）因?yàn)镈為AC邊的中點(diǎn)，所以可設(shè)AD=CD=d，
由cos∠ADB+cos∠CDB=0，得$\frac{B{D}^{2}+zedbljh^{2}-{c}^{2}}{2d•BD}$+$\frac{B{D}^{2}+eu1ktsb^{2}-{a}^{2}}{2d•BD}$=0，
即BD²=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2}$-d²=8-ac-d²，…（10分）
又因?yàn)閎²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-3ac=16-3ac，
即4d²=16-3ac，
所以d²=4-$\frac{3ac}{4}$，…（12分）
故BD²=4-$\frac{ac}{4}$≥4-$\frac{1}{4}$（$\frac{a+c}{2}$）²=3，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號，
所以線段BD長的最小值為$\sqrt{3}$．…（14分）

點(diǎn)評 本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，余弦定理，三角形面積公式，基本不等式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．