Question

4．已知函數(shù)f（x）=e^x+ax，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=1．
（1）求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若b＞0，f（x）≥b（b-1）x+c，求b²c的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)與切線的關(guān)系，求參數(shù)值，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）把f（x）≥0恒成立，轉(zhuǎn)化為f（x）min≥0．得到b²c的表達(dá)式，再利用函數(shù)思想求其最值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）≥0的定義域?yàn)镽，因?yàn)閒′（x）=e^x+a，由已知得f′（0）=1+a=0，∴a=-1．
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）=e^x-1＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）=e^x-1＜0，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）．
（2）不等式f（x）≥b（b-1）x+c⇒c≤e^x-bx+[-（b-1）²]x⇒c≤e^x-bx，令g（x）=e^x-bx，g′（x）=e^x-b，由g′（x）＞0得x＞lnb，由g′（x）＜0得＜lnb'
所以函數(shù)g（x）在（-∞，lnb）上為減函數(shù)，在（lnb，+∞）上為增函數(shù)，所以令g（x）min=g（lnb）=b-blnb，∴c≤b-blnb，
∴b²c≤b³-b³lnb，令h（b）=b³-b³lnb，則h′（b）=b²（2--3lnb），由h′（b）＞0得0＜b＜${e}^{\frac{2}{3}}$，由h′（b）＜0得b＞${e}^{\frac{2}{3}}$，所以函數(shù)h（b）在（0，${e}^{\frac{2}{3}}$）上為增函數(shù)，在（${e}^{\frac{2}{3}}$．+∞）上為減函數(shù)，所以h（b）的最大值為h（${e}^{\frac{2}{3}}$）=$\frac{1}{3}$e²，此時(shí)b=e${\;}^{\frac{2}{3}}$，c=$\frac{1}{3}$${e}^{\frac{2}{3}}$，所以b²c的最大值為$\frac{1}{3}$e²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，及恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域?yàn)閱栴}，對(duì)學(xué)生的思維強(qiáng)度比較高，是一種新穎題．