Question

17．已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±2x，則其離心率大小是$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)方程為y=±$\frac{a}$x，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)兩條漸近線(xiàn)方程為y=±$\frac{a}$x，所以分情況討論a，b的關(guān)系，再根據(jù)a，b求出c，利用離心率e=$\frac{c}{a}$，就可求出雙曲線(xiàn)的離心率．

解答 解：當(dāng)雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，兩條漸近線(xiàn)方程為y=±$\frac{a}$x，
又∵已知兩條漸近線(xiàn)方程為y=±2x，∴$\frac{a}$=2，b=2a
∴c=$\sqrt{5}$a，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}a}{a}$=$\sqrt{5}$
當(dāng)雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，兩條漸近線(xiàn)方程為y=±$\frac{a}$x，
又∵已知兩條漸近線(xiàn)方程為y=±2x，∴$\frac{a}$=2，a=2b
∴c=$\sqrt{5}$b，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}b}{2b}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$
故答案為：$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{5}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線(xiàn)的離心率的求法，關(guān)鍵是求a，c的關(guān)系，注意對(duì)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)的位置進(jìn)行討論．