Question

9．在正四面體P-ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是②．
①BC∥面PDF；
②面PDF⊥面ABC；
③DF⊥面PAE；
④面PAE⊥面ABC．

Answer 1

分析 根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征，利用空間線面位置關(guān)系的判定定理進(jìn)行證明或說明錯(cuò)誤原因．

解答 解：∵D，F(xiàn)是AB，AC的中點(diǎn)，∴BC∥DF，
∴BC∥平面PDF，故①正確；
過P作PO⊥平面ABC，垂足為O，則O為△ABC的中心，
∴O在AE上，且AO=$\frac{2}{3}$AE，
設(shè)AE與DF的交點(diǎn)為M，連接PM，
則AM=$\frac{1}{2}$AE，∴O，M不重合，∴面PDF與面ABC不垂直，故②錯(cuò)誤；
∵三棱錐P-ABC是正四面體，
∴PE⊥BC，AE⊥BC，
∴BC⊥平面PAE，又DF∥BC，
∴DF⊥平面PAE，故③正確；
∵PO?平面PAE，PO⊥平面ABC，
∴面PAE⊥面ABC．故④正確．
故答案為：②．

點(diǎn)評(píng) 本難題考查了空間線面位置關(guān)系的判斷，屬于中檔題．