Question

3．若直線L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0圓C：（x-1）²+（y-2）²=25交于A，B兩點(diǎn)，則弦長|AB|的最小值為（　�。�

• A． $8\sqrt{5}$
• B． $4\sqrt{5}$
• C． $2\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 通過直線l轉(zhuǎn)化為直線系，求出直線恒過的定點(diǎn)，說明直線l被圓C截得的弦長最小時(shí)，圓心與定點(diǎn)連線與直線l垂直，由勾股定理即可得到最短弦長．

解答 解：由（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R得：（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，
∵m∈R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{2x+y-7=0}\end{array}\right.$，得x=3，y=1，
故l恒過定點(diǎn)D（3，1）．
因?yàn)椋?-1）²+（1-2）²=5＜25，
則點(diǎn)D在圓C的內(nèi)部，直線l與圓C相交．
圓心C（1，2），半徑為5，|CD|=$\sqrt{5}$，
當(dāng)截得的弦長最小時(shí)，l⊥CD，最短的弦長是2$\sqrt{25-5}$=4$\sqrt{5}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線系方程的應(yīng)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查平面幾何知識(shí)的運(yùn)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．