Question

17．設(shè)偶函數(shù)f（x）=x²+bx+c的一個零點為1，直線y=kx+m（k＞0）與函數(shù)y=f（x）的圖象相切．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求mk的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出b，根據(jù)f（1）=0，求出c，從而求出函數(shù)的解析式即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為方程x²-kx-（m+1）=0只有一個解，由△=k²+4（m+1）=0，得到$mk=-k-\frac{4}{k}$=$-（k+\frac{4}{k}）$，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出即可．

解答 解：（Ⅰ）因為f（x）是偶函數(shù)，所以b=0…（1分）
又f（1）=0，
所以1+c=0，即c=-1…（2分）
所以f（x）=x²-1…（4分）
（Ⅱ）因為直線y=kx+m（k＞0）與函數(shù)y=f（x）的圖象相切
所以方程x²-1=kx+m，即x²-kx-（m+1）=0只有一個解…（5分）
所以△=k²+4（m+1）=0…（7分）
所以$m=-1-\frac{4}{k^2}$…（8分）
則$mk=-k-\frac{4}{k}$=$-（k+\frac{4}{k}）$…（10分）
因為k＞0，所以$k+\frac{4}{k}≥2\sqrt{k•\frac{4}{k}}=4$當且僅當k=2時取等號．…（11分）
此時mk≤-4，即mk的最大值為-4…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及基本不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．