Question

16．已知函數f（x）=|x+$\frac{1}{x}$|-|x-$\frac{1}{x}$|；
（1）作出函數f（x）的圖象；
（2）根據（1）所得圖象，填寫下面的表格：

性質	定義域	值域	單調性	奇偶性	零點
f（x）

（3）關于x的方程f²（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6個不同的實數解，求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用分段函數求出f（x）的表達式，然后作出函數f（x）的圖象，
（2）結合函數的圖象判斷相應的性質，
（3）根據圖象利用換元法將條件進行轉化，利用數形結合即可得到結論．

解答 解：函數f（x）=|x+$\frac{1}{x}$|-|x-$\frac{1}{x}$|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{x}，}&{x≥1}\\{2x，}&{0＜x＜1}\\{-2x，}&{-1≤x＜0}\\{-\frac{2}{x}，}&{x＜-1}\end{array}\right.$，
作出函數f（x）的圖象如圖：
（2）由函數的圖象得函數的定義域為{x|x≠0}，
函數的值域為（0，2]，
在（-∞，-1]和（0，1）上單調遞增，
在[1，+∞）和（-1，0），單調遞減，
函數關于y軸對稱，是偶函數，
函數與x軸沒有交點，無零點．
（3）∵0＜f（x）≤2，且函數f（x）為偶函數，
∴令t=f（x），則方程等價為t²+mt+n=0，
則由圖象可知，當0＜t＜2時，方程t=f（x）有4個不同的根，
當t=2時，方程t=f（x）有2個不同的根，
當t≤0或t＞2時，方程t=f（x）有0個不同的根，
若方程f²（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6個不同的實數解，等價為方程f²（x）+mf（x）+n=0（m，n∈R）恰有6個不同的實數解，
即t²+mt+n=0有兩個不同的根，
其中t₁=2，0＜t₂＜2，
則n=t₁t₂∈（0，4）．

點評 本題主要考查函數零點的應用，利用條件求出函數f（x）的表達式，利用數形結合是解決本題的關鍵，綜合性較強，難度較大．