Question

11．圓錐的母線與底面所成角為30°，高為2，則過(guò)圓錐頂點(diǎn)的平面截圓錐所得截面面積的最大值為8．

Answer 1

分析 求出圓錐的底面半徑，假設(shè)截面與圓錐底面交于CD，CD=a，用a表示出截面三角形的高，得出截面三角形的面積關(guān)于a的表達(dá)式，利用基本不等式求出面積的最大值．

解答 解：∵圓錐的母線與底面所成角為30°，高為2，
∴圓錐的母線長(zhǎng)l=4，底面半徑r=2$\sqrt{3}$．
設(shè)過(guò)圓錐頂點(diǎn)的平面SCD與圓錐底面交于CD，過(guò)底面中心O作OA⊥CD于E，
設(shè)CD=a，則OE=$\sqrt{{r}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\sqrt{12-\frac{{a}^{2}}{4}}$．（0＜a≤4$\sqrt{3}$）．
∴SE=$\sqrt{{h}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{16-\frac{{a}^{2}}{4}}$．
∴截面SCD的面積S=$\frac{1}{2}$CD×SE=$\frac{1}{2}a$$\sqrt{16-\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}（16-\frac{{a}^{2}}{4}）}$≤$\frac{16}{2}$=8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．