Question

5．設關于x的方程2x²-ax-2=0（a∈R））的兩個實根為α、β（α＜β），函數(shù)$f（x）=\frac{4x-a}{{{x^2}+1}}$．
（Ⅰ）求f（α），f（β）的值（結果用含有a的最簡形式表示）；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在R上是否有極值，若有，求出極值；沒有，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用一元二次方程的求根公式求出α與β，帶入函數(shù)f（x）表達式；
（Ⅱ）利用導數(shù)求出函數(shù)f（x）的單調性，函數(shù)f（x）在（-∞，α）是減函數(shù)，在（α，β）上是增函數(shù)，在（β，+∞）上是減函數(shù)．f（x）有極小值f（α）與極大值f（β）．

解答 解：（Ⅰ）由題意知：$α=\frac{{a-\sqrt{{a^2}+16}}}{4}，β=\frac{{a+\sqrt{{a^2}+16}}}{4}$．
$\begin{array}{l}f（α）=\frac{8}{{a-\sqrt{{a^2}+16}}}=-\frac{{\sqrt{{a^2}+16}+a}}{2}，\\ f（β）=\frac{8}{{a+\sqrt{{a^2}+16}}}=\frac{{\sqrt{{a^2}+16}-a}}{2}.\end{array}$
（Ⅱ）設g（x）=2x²-ax-2，
$f'（x）=\frac{{（4x-a）'（{x^2}+1）-（4x-a）（{x^2}+1）'}}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}=\frac{{4（{x^2}+1）-2x（4x-a）}}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}$
=$\frac{{-2（2{x^2}-ax-2）}}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}=-\frac{2g（x）}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}$．
因為當x＜α時，g（x）＞0，所以f'（x）＜0；
當α＜x＜β時，g（x）＜0，f'（x）＞0
當x＞β時，g（x）＞0，f'（x）＜0．
∴函數(shù)f（x）在（-∞，α）是減函數(shù)．
在（α，β）上是增函數(shù)．
在（β，+∞）上是減函數(shù)．
所以f（x）有極小值$f（α）=-\frac{{\sqrt{{a^2}+16}+a}}{2}$．
極大值$f（β）=\frac{{\sqrt{{a^2}+16}-a}}{2}$．

點評 本題考查了一元二次方程的求根公式、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性以及函數(shù)極值，屬基礎題．