Question

10．已知函數(shù)$f（x）=cos（2x+\frac{π}{3}）+{sin^2}x$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)應(yīng)邊分別是a，b，c，若$cosB=\frac{1}{3}$，$c=\sqrt{6}$，f（$\frac{C}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，求b．

Answer 1

分析 （1）由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得f（x）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$，利用周期公式可求最小正周期，由2kπ-$\frac{π}{2}$＜2x＜2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得單調(diào)遞增區(qū)間，由2kπ+$\frac{π}{2}$＜2x＜2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可解得單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）由f（$\frac{C}{2}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{4}$，解得sinC，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB，由正弦定理可得b的值．

解答 解：（1）∵$f（x）=cos（2x+\frac{π}{3}）+{sin^2}x$=cos2xcos$\frac{π}{3}$-sin2xsin$\frac{π}{3}$+$\frac{1-cos2x}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
∵2kπ-$\frac{π}{2}$＜2x＜2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得：kπ-$\frac{π}{4}$＜x＜kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∴單調(diào)遞增區(qū)間為：（kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$），k∈Z，
∵2kπ+$\frac{π}{2}$＜2x＜2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可解得：kπ+$\frac{π}{4}$＜x＜kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z，
∴單調(diào)遞減區(qū)間為：（kπ+$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{3π}{4}$），k∈Z，
（2）∵f（$\frac{C}{2}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{4}$，解得：sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵$cosB=\frac{1}{3}$，可得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴由正弦定理可得：b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{\sqrt{6}×\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，周期公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理，正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．