Question

15．如圖：已知AB為圓O的直徑，直線CD與圓O相切與M，AD⊥CD于D，BC⊥CD于C，MN⊥AB于N，AD=3，BC=1．
（1）求證：M為CD的中點(diǎn)；
（2）計(jì)算MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OM，利用切線的性質(zhì)可得：OM⊥CD，可得AD∥BC∥OM，再利用平行線分線段成比例定理即可證明．
（2）連接AM，MB，則AM⊥MB．由（1）利用梯形的中位線定理可得：OM=2，AB=2OM=4，設(shè)DM=MC=x，利用勾股定理解得x，可得△OMB是正三角形，即可得出．

解答 （1）證明：連接OM，∵直線CD與圓O相切于M，∴OM⊥CD，
∵AD⊥CD，BC⊥CD，∴AD∥BC∥OM，
∴$\frac{AO}{OB}=\frac{DM}{MC}$，
∵O為AB的中點(diǎn)，∴M為CD的中點(diǎn)．
（2）解：連接AM，MB，則AM⊥MB．
由（1）知：$OM=\frac{1}{2}（AD+BC）=2$，
∴AB=2OM=4，
設(shè)DM=MC=x，則AM²=AD²+DM²=9+x²，BM²=BC²+MC²=1+x²，
∴9+x²+1+x²=16，解得x²=3，
∴$BM=\sqrt{{x^2}+1}=2$，在正△OMB中，$MN=\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的切線的性質(zhì)、梯形的中位線定理、直角三角形與等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．