Question

14．已知F₁、F₂是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過點F₁且垂直于x軸的直線交雙曲線C于P、Q兩點，若△F₂PQ為正三角形，則雙曲線C的離心率e的值為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． 3
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 利用直角三角形中含30°角所對的邊的性質(zhì)及其雙曲線的定義、勾股定理即可得到a，c的關(guān)系．

解答 解：由△F₂PQ是正三角形，則在Rt△PF₁F₂中，有∠PF₂F₁=30°，
∴|PF₁|=$\frac{1}{2}$|PF₂|，又|PF₂|-|PF₁|=2a．
∴|PF₂|=4a，|PF₁|=2a，又|F₁F₂|=2c，
又在Rt△PF₁F₂中，|PF₁|²+|F₁F₂|²=|PF₂|²，
得到4a²+4c²=16a²，∴$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$
∴e=$\sqrt{3}$．
故選A．

點評 熟練掌握直角三角形中含30°角所對的邊的性質(zhì)及其雙曲線的定義、勾股定理、離心率的計算公式等是解決本題的關(guān)鍵．