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已知向量
a
、
b
為非零向量，求證：
a
⊥
b
?|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，并解釋其幾何意義．
考點：平面向量數量積的運算
專題：平面向量及應用
分析：根據由
a
⊥
b
，得出|
a
+
b
|2=
a
2+
b
2+2
a
•
b
=
a
2+
b2
|
a
-
b
|2=
a
2+
b
2-2
a
•
b
=
a
2+
b2
，即證|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，反之可以逆推得證．
解答： 證明：（1）∵向量
a
、
b
為非零向量，
a
⊥
b
，
∴
a
•
b
=0，
∴|
a
+
b
|2=
a
2+
b
2+2
a
•
b
=
a
2+
b2

|
a
-
b
|2=
a
2+
b
2-2
a
•
b
=
a
2+
b2
，
∴|
a
+
b
|2=|
a
-
b
|2，
即|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，
（2）∵|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，
∴|
a
+
b
|2=|
a
-
b
|2，
即
a
2+
b
2+2
a
•
b
=
a
2+
b
2-2
a
•
b
，
a
•
b
=0，
∴根據（1）（2）得出：
a
⊥
b
?|
a
+
b
|=|
a
-
b
|．
幾何意義：矩形的對角線相等．
點評：本題考查了平面向量的數量積運算，及運用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

若方程
x2
2-k
+
y2
k-1
=1表示圖形分別是①雙曲線，②圓，③橢圓，則k的取值范圍分別為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知平面內M，N，P三點滿足
MN
-
PN
+
PM
=0，則下列說法正確的是（　�。�
A、M，N，P是一個三角形的三個頂點
B、M，N，P是一個直線上的三個點
C、M，N，P是平面內任意的三個點
D、以上都不對

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科目：高中數學 來源： 題型：

若集合A={1，a}，集合B={1，3，a2}，且對于?x∈A，都有x∈B，則實數a的取值個數為（　�。�
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知兩點F1（-2，0），F2（2，0），動點M在y軸上的射影為N，且滿足2•
MF1
•
MF2
=
MN
2
（1）求動點M的軌跡C的方程；
（2）A，B是軌跡C上的兩點，AB中點S的橫坐標為1，求|AB|的最大值，并求此時直線AB的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

二項式（a-
1
a
）n的展開式中僅有3項有理項，則n的取值可以是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

數列{an}中，a1=1，對所有的n≥2都有a1•a2•a3•…•an=n2．
（1）求a3+a5；
（2）
256
225
是此數列中的項嗎？如果是，應是第幾項？

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知cos（
3π
2
+α）=
3
5
，
π
2
＜α＜π，則cos（α-
π
3
）的值為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

經過雙曲線x2-y2=1左焦點F1做傾角為30°的弦AB，求△F2AB的周長．

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同步練習冊答案