Question

直線l過拋物線x²=4y的焦點(diǎn)，則l被拋物線截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：依題意，設(shè)過拋物線x²=4y的焦點(diǎn)F的直線l的方程為：y-1=kx，與x²=4y聯(lián)立，可得x²-4kx-4=0，設(shè)l與拋物線x²=4y交點(diǎn)為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為M（x，y），利用韋達(dá)定理，可求得

x=2k y=2k2+1

，消掉參數(shù)k即可得到拋物線截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程．

解答： 解：拋物線x²=4y的焦點(diǎn)F（0，1），則過焦點(diǎn)F的直線l的方程為：y-1=kx，
由

y=kx+1 x2=4y

得：x²-4kx-4=0，
設(shè)l與拋物線x²=4y交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為M（x，y），
則x₁、x₂為方程x²-4kx-4=0的兩個(gè)根，
所以x₁+x₂=4k=2x，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=4k²+2=2y，
整理得：

x=2k y=2k2+1

，消去k得：x²=2（y-1）．
故答案為：x²=2（y-1）．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用與消參法，屬于中檔題．